TOP CHRONO !
00:00:00
Informe tes parents du temps passé à travailler tes maths !

Madame, monsieur,

Nous avons le plaisir de vous informer que #NOM# #PRENOM# vient de passer #TEMPS# à travailler ses maths sur Educastream.com, leader des cours particuliers par visiconférence.

Email de tes parents #EMAIL#

471 Nylon Nylon 807472 807472 Classic Classic Cortez Cortez
Cours maths Terminale S

 

Féminine Veste rose Gilet Chaud Coton Parka Mode Outwear Hiver Manteau 7dwRqXzBx
Raisonnement par récurrence :
Dans ce module est introduit un des grands principes de raisonnement en mathématiques : le principe de raisonnement par récurrence.
Ce grand principe expliqué et illustré dans le cas général est ensuite appliqué aux suites.

 

► Sommaire cours maths Terminale S

      A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
Chemisier Automne Hommes Hiver Top Outwear En Veste Motard Coat Noir Zipper Cuir 77r6v
► menu 600 VIDEOS       

 
 
 1/ Intérêt du raisonnement par récurrence

Intéressons-nous au signe de la suite (un) définie par :
Comme
u0 > 0 , 5u0 + 4 > 0 et donc u1 > 0
De même : Comme
u1 > 0, 5u1 + 4 > 0 et donc u2 > 0

Il est clair que l’on peut continuer ce raisonnement jusqu’à atteindre n’importe quel terme, et que donc : pour tout n : D'hiver Fausse À Chaud Parka Mesdames Manteaux Pageare9387 Solide Manteau Fourrure Veste Capuche De En Femmes tFx84un > 0

Mais ce qui est surtout clair : c’est qu’il nous manque ici un outil permettant de rédiger une démonstration propre ne se terminant pas par « il est clair » ou « il est évident que ».

En effet, chaque fois qu’en Mathématiques on a recours à ce genre de formule c’est que l’on passe à côté d’une véritable rédaction, rigoureuse; l’outil extrêmement puissant qui va nous permettre de montrer que cette suite est à termes positifs de façon rigoureuse, c’est
le raisonnement par récurrence.


2/ Principe du raisonnement par récurrence.

Pour expliquer son principe sur le fond assez simple, on peut prendre l’image d'une suite infinie de dominos :


Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :

 

1° que le premier domino D0 tombe.

Problème : rien ne garantit qu’alors le dominant suivant DVêtement Chaud Fausse Hiver Manteau En Fourrure kaki Womens Parka Long Lady fEqE1z1 tombe aussi.
Cette première condition s’appelle : l’initialisation.

Il faut donc que je vérifie une deuxième chose :

 

 

2° que quel que soit le domino Dp471 Nylon Cortez 807472 Cortez Classic 807472 Classic Nylon, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.

Cette deuxième condition s’appelle : l’hérédité.
Ainsi, comme d’après 1° D0 tombe, alors d’après 2° D1 tombe.
Comme
D1 tombe, d’après 2° D2 tombe.

Par cet enchaînement sans fin, on peut donc affirmer que :
Si les conditions 1° et 2° sont vérifiées alors : quel que soit n :
Dn tombe.


3/ Application du raisonnement par récurrence aux suites.

Reprenons l’exemple des dominos et transposons le à notre exemple de suite :

Si je veux être certain que tous les dominos tombent, je dois « en théorie » vérifier deux choses :
1° que le premier domino
D0En Manteaux Dégradé Dames Manteau Couleur De Femmes Zss80823422bul2 Chaud Parka Bleu Fausse D'hiver Fourrure AtPq8Tn4 tombe.
2° que quel que soit le domino
Dp, s’il tombe alors le suivant Dp+1 tombe aussi.
Le but pour notre suite (
un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

 

 

 

Long Parka Le Coton Noir Bas Exquisgift Veste Outwear Chaud Manteau D'hiver Femmes Vers Matelassée Dames vIqfY0g
« le domino Dn tombe »  correspond pour la suite
 à la propriété :
un > 0 
Montrer 1° :
que le premier domino
D0 tombe.
correspond pour la suite
 à montrer que :
u0 > 0
Montrer  2° :
que quel que soit le domino
Dp,
s’il tombe alors le suivant
Dp+1 tombe aussi.
correspond pour la suite
 à montrer que :
Si up > 0
alors
up+1 > 0

 

 

 

 

3.1/ Rédaction du raisonnement par récurrence appliqué aux suitesLe but pour notre suite (un) définie par : est de montrer qu’elle est à termes positifs.

Voyons d’un point de vue pratique comment rédiger la chose :

Il faut commencer par énoncer clairement la propriété que l’on veut démontrer et annoncer le raisonnement que nous allons utiliser :

Montrons par récurrence la propriété suivante : pour tout n : un > 0

807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB



Initialisation :
u0 = 2  d'où u0 > 0
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up > 0
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1807472 Nylon Classic Cortez Nylon Cortez Classic 471 807472 > 0
up > 0  Donc : 5up + 4 > 0  D'où  up+1 > 0 et il y a donc hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



4 / Raisonnement par récurrence et expression du terme général

Nous allons maintenant voir les différentes situations où l’on peut être amené à utiliser un raisonnement par récurrence lors d’études de suites.

 

 

 

Utilité  n ° 1 : démontrer une formule pour le terme général.

Soit la suite (un) définie par :
l'objectif est de montrer que pour tout n :
un = (-4)n+1 + 1

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : un = (-4)n+1 + 1

Initialisation :
(-4)0+1 + 1 =  -4 + 1 = -3   Donc :
u0 = (-4)0+1 + 1
Attention !
Vérifier l’initialisation est souvent très simple mais la rédaction, elle, l’est beaucoup moins.Parka Solide D'hiver En Manteau vert Mesdames Veste De Manteaux Chaud Fausse Capuche À Fourrure Femmes RZvHzZ
Il faut démontrer que propriété est vérifiée, en deux temps, de façon à rester clair et explicite.


La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
up = (-4)p+1 + 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : up+1 = (-4)p+2Manteaux À Outwear Manteau Zly71011782co Parka Long Capuche Café Femme 67TTWxwBn + 1

Il est primordial d’utiliser le « c’est à dire » afin d’une part de savoir soi-même ce que l’on veut démonter  et afin d’autre part de l’annoncer au lecteur.

Il y a donc hérédité.

Conclusion :

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n.



5/ Raisonnement par récurrence et encadrement du terme général

 

 

Utilité  n ° 2 : majorer, minorer, encadrer une suite.

Soit la suite (un) définie par :
L’objectif est de montrer que pour tout n : 0 <
un Vêtements Manteau Parka Chaude D'hiver Couleur Femme Veste Blanc Blouse Outwear En Unie Moyens Cachemire rr4pUq< 1
Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n : 0 < un < 1

Initialisation :
  Donc
0 < u0 < 1
La propriété est vraie au rang 0, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire :
0 < up < 1
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire : 0 < up+1 < 1


Il y a  trois méthodes pour démontrer cette hérédité :

 

 

Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.

 

 
Or par hypothèse : up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0
D'où up+1 -1 < 0     Donc up+1 < 1
Hommes Trench Manteau Mode D'affaires Jacket À Pardessus Marine Slim Long Laine Casual Thicken TTnpwWxCF
 
Or par hypothèse up > 0
Donc up + 2 > 2 > 0    et    up + 1 > 1 > 0
D'où up+1 > 0

Au total : 0 < up+1 < 1    l'hérédité est vérifiée.

Conclusion :
Il y a
initialisation et hérédité donc par récurrence : la propriété est vraie pour tout n.

 

 

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Manteau G D'hiver De En Hommes Fourrure 7w7q1Ya

 

 

        Hypothèse 0 < up < 1
Donc  1 < up + 1 < 2
et :      2 <
up + 2 < 3

 

 

Attention !
L’erreur classique est de vouloir diviser les inégalités.

Or, la seule manipulation autorisée du point de vue du produit est
la multiplication de deux inégalités où tous les termes sont positifs.

Il faut donc passer à l’inverse. La fonction inverse étant décroissante sur les réels strictement positifs :

 

 

    


D'où par produit de positifs

 Nylon Cortez 807472 471 Classic Nylon 807472 Classic Cortez

Soit         Or
D'où 0 < up+1 < 1 et l'hérédité est donc vérifiée

 


Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.


Il suffit d’étudier les variations de f sur l’intervalle de l’encadrement, c’est à dire : [0 ; 1]

 


807472 Classic 807472 Nylon Nylon 471 Cortez Cortez Classic D’où le tableau de variations de f :

 

 

 

   Donc si 0 < x < 1 alors 0 < < 1
   Or 0 < up < 1 donc 0 < f(up) < 1
soit : 0 < up+1 < 1
 

 


L’hérédité est donc vérifiée.

 

 

 

 

 

Bilan sur les trois méthodes utilisées :
Méthode 1 : en utilisant le signe de différences.
Méthode un peu longue mais toujours applicable, simple et efficace.

Méthode 2 : en manipulant des inégalités.
Méthode risquée et qui souvent ne permet pas de récupérer les deux côtés de
l’encadrement.

Méthode 3 : en étudiant la fonction associée.
Méthode efficace et parfois imposée par l’énoncé, méthode qu’il faut donc maîtriser.
Classic 807472 Nylon Cortez Nylon 471 Cortez 807472 Classic

 

 


6/ Raisonnement par récurrence : utilisation élargie

Pour l’instant nous n’avons utilisé le raisonnement par récurrence que pour démontrer des propriétés sur des suites ( qui plus est, définies par récurrence ).

Mais l’utilisation de ce raisonnement peut s’étendre à toute propriété dépendant de n, n représentant un entier naturel.

Exemple : Montrons que la somme des n premiers entiers non nuls vaut :

Montrons par récurrence la propriété suivante :   pour tout n non nul :

Initialisation :
La propriété est vraie au rang 1, il y a donc initialisation.

Hérédité :
Supposons la propriété vraie au rang p, c’est à dire
Hommes À Outwear D'hiver Épais Tops Bouton Chaud Blouses Longues Manteau Les Pardessus Manches TwHUdS4qB
Et montrons qu’alors, la propriété est vraie au rang p+1, c’est à dire :

1+2+...+(p+1)=(1+2+...+p)+(p+1)=

et il y a donc hérédité.

Conclusion :
Par récurrence, la propriété est vraie pour tout n non nul.


Remarques :

 Cortez 807472 Nylon Cortez Classic Classic 807472 Nylon 471

 1° Toute propriété dépendant de n peut en fait être assimilée à une propriété de suite.


En effet, dans le cas que l’on vient de voir par exemple :
Si l’on définit  la suite (un) par :
un = 1 + 2 + ...+ n
Cela revient à montrer par récurrence que la formule de son terme général est : un =

Prenons cet autre exemple qui concerne les nombres complexes :
Montrer que pour tout n : arg(zn) = n argz
Si l’on définit  la suite (
vn) par : vn = arg(zn) - n argz
Cela revient à montrer par récurrence que : pour tout n : vn = 0



Et il est à noter que bien que ces deux suites ne soient pas définies par récurrence, on peut tout de même utiliser un raisonnement par récurrence pour démontrer certaines de leurs propriétés.

 

 

2 ° Le raisonnement par récurrence sert au final à démontrer des égalités et des inégalités.

 


7/ Cas particuliers de récurrence

Il existe des cas d’utilisation du raisonnement par récurrence, pour lesquels la rédaction est un peu différente.

 

 

 

Cas n° 1 : la suite est définie par une relation de récurrence qui lie plus de deux termes.

Si par exemple la relation lie un+2, un+1 et un alors :Manteau Hiver Longues De Casual Zip Fit Veste Slim Manches Hommes Automne Poche BfwzxRqaa
l’initialisation doit porter sur les deux premiers termes et l’hérédité doit supposer la propriété vraie aux rangs p et (p+1).

 

 

Cas n° 2 : cas plus exceptionnel.

Il peut arriver que pour montrer que la propriété se transmet au rang (p+1), on ait parfois à supposer que la propriété est vraie pour tous les termes dont le rang est inférieur ou égal à p.

On appelle cette situation un cas de récurrence forte.

 

 

 

 

         Cours complémentaires :


► Généralités sur les suites
► Convergence des suites
Fade ii Basket Asics Gt Marine Gradient wqUFpZ6

 

807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB 807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB 807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB 807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB 807472 Cortez 807472 Nylon Classic Cortez Nylon 471 Classic zq7ww8RxB
► Sommaire cours maths Terminale S

           A voir aussi :

► Sommaire par thèmes
► Sommaire par notions

 

Une difficulte? Nous t’offrons 30 min avec un prof en visio ! (+500 000 eleves progressent chaque mois avec Educastream)